Математические концепции и исторические факты о великих ученых и их открытиях

Балтийский болтун@baltboltАрмия и СВО11 ноября 2026, 17:22

more_horiz

«Это всё очень интересно, а тригонометрия-то тут при чём?» — своевременный вопрос, как раз добрались! Давайте пару a, b, определяющую компле́ксное число, отметим как точку на плоскости: a — на оси x, b — на оси y. Как видим на графике, мы также можем определить число через пару l, φ: расстояние от точки до начала координат (это модуль числа, и когда у компле́ксного числа отсутствует мнимая часть (b = 0), это совпадает с нашим обычным определением модуля) и угол, который этот отрезок образует с осью x. Удивительный факт: когда мы перемножаем компле́ксные числа, их модули перемножаются, а углы складываются! Теперь возьмём показательную функцию e^z (e ≈ 2,71828 — число Эйлера, основание натурального логарифма) и представим, что z = u + i × v — компле́ксное число. В таком случае e^u = l, а v = φ, согласны? Это просто следует из правил перемножения показательных функций, смотрите: e^(u₁+iv₁) × e^(u₂+iv₂) = e^(u₁+u₂) × e^(i(v₁+v₂)) Модули e^(u₁) и e^(u₂) перемножились, а углы v₁ и v₂ сложились, как и должно быть! А теперь берём e^z для чисто мнимых z (u = 0, есть только v, которую дальше будем писать как φ, чтобы подчеркнуть, что это угол). По сути это окружность единичного радиуса (радиус = модуль, а модуль = e⁰ = 1 — любое число в степени ноль есть единица). А теперь вспомним, как мы изначально писали компле́ксные числа: a + i × b — взгляните на картинку, что есть a и что есть b? Это катеты! Катеты треугольника с гипотенузой, равной единице. Чему же они равны? a = 1 × cos φ, b = 1 × sin φ. И значит: e^(iφ) = cos φ + i × sin φ Вы понимаете, что мы натворили? Мы связали показательную функцию с тригонометрическими! Это и есть знаменитая формула Эйлера. И сейчас с её помощью мы решим всю тригонометрию (ну, почти). Синус и косинус суммы двух углов? Начнём с очевидного свойства экспоненты: e^(i(x+y)) = e^(ix) × e^(iy) Подставим в формулу Эйлера, правая часть равенства превращается в: (cos x + i × sin x)(cos y + i × sin y) Раскроем скобки: (cos x × cos y − sin x × sin y) + i × (sin x × cos y + cos x × sin y) А что в левой части? Вот что: cos(x+y) + i × sin(x+y) Теперь сравниваем вещественные и мнимые части слева и справа — и получаем сразу две знаменитые формулы, синус суммы и косинус суммы углов: cos(x+y) = cos x × cos y − sin x × sin y sin(x+y) = sin x × cos y + cos x × sin y Хотите формулу для синуса тройного угла? Берём: e^(3ix) = (e^(ix))³ Подставляем формулу Эйлера. Раскрываем куб. Сравниваем мнимые части. Получаем: sin 3x = 3 × sin x − 4 × sin³x Косинус тройного угла cos 3x = 4 × cos³x − 3 × cos x получаем здесь же, так сказать, на сдачу — из сравнения действительной части равенства слева и справа. Продолжите самостоятельно — не найдётся школьной формулы, относящейся к синусам и косинусам, которую нельзя при помощи лёгких преобразований вывести из формулы Эйлера. Русский швейцарец Кто же этот Эйлер, которому мы обязаны этой изящной формулой? Леонарда Эйлера считают одним из величайших математиков — наряду с Архимедом, Ньютоном и Гауссом. Но мало кто знает, что большая часть его научной жизни прошла в России. Эйлер родился в Швейцарии в 1707 году, а в двадцать лет приехал в Петербург по приглашению Академии наук, основанной при Петре. Молодая Российская империя тогда стремительно догоняла Европу и вкладывала огромные силы в просвещение. В Петербурге Эйлер написал множество работ по математике, механике, астрономии, физике и даже кораблестроению. Он на четверть века (1741–1766) уезжал в Берлин, но затем вернулся и провёл в Петербурге последние годы жизни. Здесь же он в 1783 году умер и был похоронен. Трудно найти область науки, в которую Эйлер не внёс бы заметного вклада. Он исследовал движение планет и распространение света, занимался гидродинамикой и теорией музыки, создал основы многих разделов современной математики. Даже привычные нам обозначения вроде f(x), e, π получили широкое распространение во многом благодаря именно ему.