Математические концепции и исторические факты о великих ученых и их открытиях

Балтийский болтун @baltbolt Армия и СВО11 ноября 2026, 17:22

Если проследить, как возникают множества чисел в математике, то всегда это происходит одним и тем же способом. Сначала у нас только натуральные (N) — это которые целые больше нуля (ноль иногда включают, иногда нет). Это когда у нас коробка со спичками или счётными палочками, и мы их пересчитываем: «одна, вторая, третья». Потом мы начинаем их складывать: две плюс три — ага, получили пять. Пять плюс четыре — девять. А что, если делать в обратную сторону — не прибавлять, а отнимать? Девять минус шесть — три. А три минус шесть? Стоп, а у нас нет числа, которым мы можем это записать. Давайте введём отрицательные числа — так мы приходим к множеству Z (все целые: положительные, отрицательные и ноль). Этих чисел нам хватит с достатком, пока мы не захотим заняться умножением. 3 × 5 = 15, 15 × 4 = 60 — пока всё в порядке. Но как только мы приступаем к обратной операции (делению), скоро числа у нас заканчиваются. 60:2 = 30, 30:2 = 15, 15:2 — стоп, нет такого числа! Давайте, что ли, его придумаем? Так возникает множество Q рациональных чисел — то есть таких, которые можно записать в виде дроби. Рациональные числа заканчиваются, когда мы переходим к возведению в степень. 3 в квадрате — это 9, значит (идём в обратную сторону), корень квадратный из девяти — это 3. Два в кубе — это 8, а корень квадратный из восьми — это... ой! Это 2√2, а √2 — это что такое? Какой дробью мы можем его представить? А никакой. Давайте расширять наше множество чисел до R — вообще любые числа (их называют вещественными), которые мы можем даже не уметь подсчитать точно (√2 — это 1,4142135623... и ещё бесконечное количество цифр после запятой, во Вселенной не хватит места выписать его с абсолютной точностью). Ну что, вроде справились? Все числа у нас теперь есть? Долгое время казалось, что да — но тут приходит такой Джероламо Кардано (итальянский математик, врач и заядлый игрок, 1501–1576) и, лукаво подмигивая, говорит: смотрите, вот я беру корень квадратный из 4 — это два, проверяем: 2 × 2 = 4, всё верно. А если из −4? Какое это число? Как ни старались, не смогли среди всех вещественных чисел найти такое, чтобы его квадрат был равен −4. Что же делать? Вы, конечно, уже догадались: делаем новое множество, называем такие числа компле́ксными (не ко́мплексными — следим за ударением, это ж не обед!), само множество обозначаем как C — уф, дело сделано! Теперь у нас есть числа для всех вообще операций (ну, почти). Заметим, что все множества устроены по принципу матрёшки: Z включает в себя N, Q включает Z и N, R — Q, Z и N, ну а C — все их вместе. Мы каждый раз расширяли класс известных нам чисел — и поглядите, как далеко ушли от наших счётных палочек! Компле́ксные, но не страшные Корни из отрицательных чисел (которые также называют мнимыми числами) почему-то считаются такими ужасными, что в школе о них стараются не говорить. Предпочитают соврать: «Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя» (очень даже можно! Ещё одна школьная ложь того же плана: «На ноль делить нельзя» — иногда можно и нужно, но это отдельная тема, не станем отвлекаться). Что важно понимать про компле́ксные числа, чтобы не сильно их бояться: все их можно свести к вещественным и одному специальному числу i = √−1. Тогда любое число запишется как c = a + i × b — парой простых вещественных чисел. Все операции с такими числами (сложение, перемножение, возведение в степень) производятся так же, как с обычными алгебраическими выражениями. Найдём c²: c² = (a + i × b)² = a² + 2 × a × i × b + i² × b², а i² — это что? Верно, −1, значит, c² = a² − b² + 2 × a × i × b — такое же компле́ксное число, как и c. Ещё прикольно узнать, чему равно 1/i — легко подумать, что это i, а вот и нет, это −i! Проверим: домножим обе части равенства 1/i = −i на i, получим 1 = −i², i² = −1 — всё сошлось.