Родился 24 октября 1945 г. в г. Иванове в семье учителей Леонида Николаевича и Екатерины Андреевны Мартыновых. В 1963 г. поступил в Москве в Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Со второго курса был призван в армию. Проходил срочную службу в войсках ПВО в Средней Азии. После демобилизации продолжил обучение в ГИТИСе. Окончил вуз в 1970 г., выпускник курса педагогов Варвары Вронской и Павла Хомского. В 1970-1972 гг. Андрей Мартынов был актером Московского театра юного зрителя. С 1972 по 1981 г. служил в Московском драматическом театре на Малой Бронной.